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Le corps engendré par les points de petit ordre premier d’une courbe elliptique

Loïc Merel and William Stein

Introduction

Soit p un nombre premier. Soit Q̄ une clôture algébrique de Q. Notons Q(μ_{p}) le souscorps cyclotomique de Q̄ engendré par les racines p-ièmes de l’unité. Soit E une courbe elliptique sur Q(μ_{p}), telle que les points d’ordre p de E(Q̄) soient tous Q(μ_{p})-rationnels.

Théorème . — On a p > 1000, p < 6 ou p = 13.

Signalons que le cas p = 7 a été traité par Emmanuel Halberstadt. La partie du théorème concernant les cas p ≡ 3 (mod 4) est énoncée dans [2] . Nous nous proposons de donner les détails qui permettent de traiter ces cas ainsi que les cas, un peu plus difficiles, où p ≡ 1 (mod 4). Nous traitons ces derniers à l’aide de la proposition 2 ci-dessous, qui n’est pas présente dans loc. cit.

Il est peut-être possible d’exclure le cas où p = 13, en étudiant la courbe modulaire X_{1}(13) et sa jacobienne J_{1}(13).

1. Rappel des résultats de [2]

Notons J_{0}(p) la jacobienne de la courbe modulaire X_{0}(p) (qui classe les courbes elliptiques généralisées munies d’un sous-groupe cyclique d’ordre p). Considérons le sousanneau T de End J_{0}(p) engendré par les opérateurs de Hecke. Renvoyons à [1] pour l’étude approfondie de ces objets.

Soit S l’ensemble des classes d’isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p. Notons Δ_{S} le groupe formé par les diviseurs de degré 0 à support dans S. Il est muni d’une structure de T-module (déduite, par exemple, de l’action des correspondances de Hecke sur la fibre en p du modèle régulier minimal de X_{0}(p) sur Z).

Soit j ∈ F̄_{p} − J_{S}, où J_{S} désigne l’ensemble des invariants modulaires supersinguliers. On note ι_{j} l’homomorphisme de groupes Δ_{S} ⟶ F̄_{p} qui à ∑_{E} n_{E}[E] associe la quantité ∑_{E} n_{E}/(j − j(E)), où j(E) désigne l’invariant modulaire de E.

On dira qu’un élément j ∈ F_{p} présente une anomalie s’il existe une courbe elliptique sur F_{p} d’invariant modulaire j possédant un point F_{p}-rationnel d’ordre p (cela entraîne j ∉ J_{S}).

Proposition 1. — Supposons que p est congru à 1 modulo 4. Supposons que pour tout j ∈ F_{p} présentant une anomalie et tout caractère de Dirichlet χ : (Z/pZ)^{∗} ⟶ C non quadratique, il existe t_{χ} ∈ T et δ ∈ Δ_{S} tels que L(t_{χ}J_{0}(p), χ, 1) ≠ 0 et ι_{j}(t_{χ}δ) ≠ 0.

Alors pour tout sous-groupe d’ordre p de E(Q̄), il existe une courbe elliptique E_{C} sur Q(\sqrt{p}) munie d’un sous-groupe D_{C} d’ordre p et Q(\sqrt{p})-rationnel, telle que les couples (E, C) et (E_{C}, D_{C}) soient Q̄-isomorphes. Démonstration. — Indiquons comment cela se déduit de [2] . L’hypothèse ι_{j}(t_{χ}δ) ≠ 0 entraîne t_{χ} ∉ pT et, a fortiori, t_{χ} ≠ 0, si bien que l’hypothèse de non-annulation de série L entraîne l’hypothèse H_{p}(χ) de loc. cit, introduction.

D’après loc. cit, corollaire 3 de la proposition 6, E a potentiellement bonne réduction en l’idéal premier P de Z[μ_{p}] au dessus de p dès lors que l’hypothèse H_{p}(χ) est vérifiée pour χ caractère de Dirichlet de conducteur p non quadratique (ce qui est le cas par hypothèse).

Notons j l’invariant modulaire de la fibre en P du modèle de Néron de E. D’après le corollaire de la proposition 15 de loc. cit., j présente une anomalie.

Soit C un sous-groupe d’ordre p de E(Q̄). Le couple (E, C) définit un point P qui Q(μ_{p})-rationnel de la courbe modulaire X_{0}(p), qui n’est pas une pointe.

Considérons le morphisme ϕ_{χ} = ϕ_{t_{χ}} (voir loc. cit. section 1.3). Comme ι_{j}(t_{χ}δ) ≠ 0, c’est une immersion formelle au point P_{/F_{p}} d’après loc. cit., proposition 4. L’hypothèse L(t_{χ}J_{0}(p), χ, 1) ≠ 0 entraîne que la composante χ-isotypique de t_{χ}J_{0}(p)(Q(μ_{p})) est finie (théorème de Kato, voir la discussion dans loc. cit. section 1.5). On peut donc appliquer le corollaire 1 de la proposition 6 de loc. cit. Cela prouve que P est Q(\sqrt{p})-rationnel, ce qui se traduit par la conclusion de la proposition 1.

2. Un lemme sur les courbes elliptiques

Proposition 2. — Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Soit E une courbe elliptique sur Q̄. Il existe un sous-groupe cyclique C d’ordre p de E(Q̄)[p], tel que pour toute courbe elliptique E′ sur Q(\sqrt{p}) munie d’un sous-groupe C′ qui est Q(\sqrt{p})-rationnel les couples (E, C) et (E′, C′) ne soient pas Q̄-isomorphes. Démonstration. — Procédons par l’absurde. Soit E_{0} une courbe elliptique sur Q(\sqrt{p})) qui est Q̄ isomorphe à E (il en existe par hypotèse). Démontrons au préalable que le groupe Gal(Q̄/Q(\sqrt{p})) agit scalairement sur le F_{p}-espace vectoriel E_{0}(Q̄)[p].

Notons X(p) la courbe algébrique sur Q qui classe (finement puisque p > 2) les courbes elliptiques généralisées munies d’un plongement π : (Z/pZ)^{2} ⟶ E[p]. Considérons le morphisme (de variétés algébriques sur Q) ϕ : X(p) ⟶ X_{0}(p)^{P^{1}(F_{p})} qui à (E, π) associe ∏_{t∈P^{1}(F_{p})}(E, π(t)). Notons X_{Δ}(p) l’image de ϕ. Le revêtement (de courbe algébriques sur Q) ϕ′ : X(p) ⟶ X_{Δ}(p) est galoisien de groupe de Galois isomorphe à F_{p}^{∗} (l’action étant déduite de l’action scalaire de F_{p}^{∗} sur E[p]).

Soit π_{0} un plongement (Z/pZ)^{2} ⟶ E_{0}[p]. Notons P le point Q̄-rationnel de X(p) déduit de (E_{0}, π_{0}). Son image par ϕ est Q(\sqrt{p})-rationnelle par hypothèse. On a donc un caractère α : Gal(Q̄/Q(\sqrt{p})) ⟶ F_{p}^{∗} tel que σ(P) = α(σ).P (σ ∈ Gal(Q̄/Q(\sqrt{p}))). En d’autres termes Gal(Q̄/Q(\sqrt{p})) agit scalairement sur E_{0}(Q̄)[p] via le caractère α.

En raison des accouplement de Weil, α^{2} coïncide avec le caractère cyclotomique modulo p, et se factorise donc par Gal(Q(μ_{p})/Q(\sqrt{p})). Or, lorsque p ≡ 1 (mod 4), le groupe Gal(Q(μ_{p})/Q(\sqrt{p})) est d’ordre pair, et ses caractères modulo p forment un groupe engendré par la réduction modulo p du caractère cyclotomique, qui ne peut donc être un carré.

3. Vérification des hypothèses de la proposition 1

Soit p un nombre premier. Indiquons comment nous vérifions que les hypothèses de la proposition 1 sont satisfaites. Notons S_{2}(Γ_{0}(p)) le groupe formé par les formes modulaires paraboliques de poids 2 pour le groupe de congruence Γ_{0}(p) et à coefficients de Fourier entiers. Par forme primitive on entend une forme primitive du Q̄-espace vectoriel engendré par S_{2}(Γ_{0}(p)).

On établit d’abord la liste des invariants modulaires j ∈ F_{p} présentant une anomalie. On ne s’intéresse qu’à ces derniers. Soient χ un caractère de Dirichlet (Z/pZ)^{∗} ⟶ C^{∗} et j ∈ P^{1}(F_{p}) présentant une anomalie.

On étudie les trois T-modules suivants : T, Δ_{S} et S_{2}(Γ_{0}(p)). Après extensions des scalaires à Q, ce sont des T ⊗ Q-modules libres de rang 1, dont les sous-T-modules irréductibles sont les annulateurs des idéaux premiers minimaux de T. On établit la liste des idéaux premiers minimaux de T. D’un point de vue algorithmique, ils sont engendrés par des polynômes de petits degrés en les opérateurs de Hecke de petits indices ; on trouve ces polynômes en utilisant la méthode du graphe de Mestre et Oesterlé [3] .

Pour chaque idéal P de T, on peut examiner si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

i) Il existe x ∈ Δ_{S} tel que Px = 0 et ι_{j}(x) ≠ 0. ii) Toute forme primitive f telle que Pf = 0 vérifie L(f, χ, 1) ≠ 0. iii) L’image de P dans le T-module T/pT est un facteur direct.

On étudie le cas où P est premier et minimal. La première condition s’étudie par la méthode du graphe de Mestre et Oesterlé. La deuxième condition se vérifie par la théorie des symboles modulaires (sans recours à des calculs d’intégrales). La troisième condition est vérifiée pour p < 1000 et p ≠ 389, car l’un d’entre nous a découvert que le discriminant de T est premier à p et donc que l’anneau T/pT est semi-simple. Pour tout nombre premier p distinct de 2, 3, 5, 7, 13 et 389, on vérifie l’existence d’un idéal premier minimal vérifiant les trois conditions énoncées.

Dans le cas où p = 389, on trouve P de la manière suivante. Il existe deux idéaux premiers minimaux P_{1} et P_{2} satisfaisant les deux premières conditions. Comme le discriminant de T est de valuation p-adique égale à 1, l’image de l’un au moins des idéaux P_{1}, P_{2} et P_{1} ∩ P_{2} est un facteur direct de T/pT. On note P, celui de ces idéaux qui convient.

Lorsque nos trois conditions sont satisfaites pour un idéal P de T, il existe t_{χ} ∈ T annulé par P et image réciproque d’un projecteur de T/pT sur le supplémentaire de P+pT. Posons δ = x, on a ι_{j}(t_{χ}δ) = ι_{j}(δ) ≠ 0 (car ι_{j} prend ses valeurs en caractéristique p, δ est annulé par P et t_{χ} ∈ 1 + pT + P). L’assertion L(t_{χ}J_{0}(p), χ, 1) ≠ 0 résulte facilement de la deuxième condition, puisque L(t_{χ}J_{0}(p), χ, s) est le produit des L(f, χ, s), où f parcourt les formes primitives non annulées par t_{χ}.

Le couple (t_{χ}, δ) satisfait donc les conditions demandées.

Bibliographie

[1] B. Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, Pub. math. de l’IHES 47, 33–186, 1977.

[2] L. Merel, Sur la nature non cyclotomique des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Prépublication , 1999.

[3] J.-F. Mestre et J. Oesterlé, Courbes elliptiques de conducteur premier, Manuscrit non publié.